Los 7 grandes problemas matemáticos cuya resolución se premia con US$1 millón
Por: BBC Mundo
Octubre 2018
Fotografia: Getty Images

US$1 millón por resolver un problema matemático.

La cuant√≠a de la recompensa permite imaginar la complejidad de los llamados Problemas del Milenio, una lista con los siete desaf√≠os m√°s importantes sin resolver publicada en el a√Īo 2000 por el Instituto Clay de Matem√°ticas de Cambridge, Estados Unidos.

El premio es suculento... pero la tarea no es f√°cil. Hasta ahora, solo uno ha sido resuelto de manera oficial.

El pasado mes de septiembre, el brit√°nico Michael Atiyah asegur√≥ haber solucionado el problema de la "hip√≥tesis de Riemann" al hallar una f√≥rmula con la que predecir el siguiente n√ļmero primo dentro de una serie de cifras.

Pero antes de poder recibir el premio, su teor√≠a debe ser publicada por una revista cient√≠fica de prestigio mundial. Dos a√Īos despu√©s, si la teor√≠a es aceptada por la comunidad matem√°tica, tendr√° que recibir el visto bueno de dos comit√©s independientes de expertos del Instituto Clay.

¬ŅTe atreves a intentar solucionar uno? En BBC Mundo te contamos cu√°les son los siete Problemas del Milenio.

1. El problema de P frente a NP

"P frente a NP" aspira a demostrar o refutar la creencia de que hay problemas para los que, por su complejidad, es más difícil encontrarles una solución que comprobar si esa solución es correcta.

Los problemas P (polinómicos) son los que se pueden resolver en un tiempo razonable. Los problemas NP (no deterministas en tiempo polinómico) son aquellos que, aunque sea difícil encontrarles solución, una vez hallada se puede comprobar en un tiempo razonable que es correcta .

Si se puede encontrar fácilmente una solución, esta también se podrá verificar de manera sencilla, por lo que todo problema P es también NP.

Lo que se desconoce es si hay alg√ļn problema NP que no sea P. Los expertos conf√≠an en que as√≠ sea, pero de momento nadie ha sido capaz de demostrarlo.

2. La conjetura de Hodge

Algunos matem√°ticos aseguran que este problema es el m√°s dif√≠cil de explicar al p√ļblico en t√©rminos que no resulten demasiado t√©cnicos.

La conjetura de Hodge está relacionada con la geometría algebraica, que estudia los lugares geométricos que se pueden definir por polinomios como circunferencias o parábolas.

Con el paso del tiempo, sin embargo, algunas propiedades de estos conjuntos comenzaron a ser aplicadas a cosas que no tienen una interpretación geométrica. Una de ellas es lo que se conoce como un "ciclo de Hodge".

Este problema relaciona la topología algebraica de una variedad algebraica compleja no singular con sus subvariedades. En concreto, la conjetura dice que todo ciclo de Hodge es combinación racional de ciclos algebraicos, es decir, de los ciclos asociados a subvariedades analíticas cerradas.

3. La conjetura de Poincaré

Este problema es el √ļnico que hasta el momento fue solucionado oficialmente. El logro fue del matem√°tico ruso Grigori Perelman en 2006, quien sorprendi√≥ al rechazar el premio tras asegurar que no era ning√ļn h√©roe ni quer√≠a ser expuesto de manera masiva.

La conjetura de Poincaré era considerada una de las hipótesis matemáticas más importantes y difíciles de demostrar.

En topolog√≠a, la superficie de una esfera bidimensional se caracteriza por ser la √ļnica superficie simplemente conexa, compacta y cerrada (sin l√≠mites).

La conjetura, que se transformó en teorema después de que la resolución de Perelmán fuera aceptada, establece que esta afirmación es también válida para esferas tridimensionales.

4. La hipótesis de Riemann

La hip√≥tesis de Riemann se centra en la distribuci√≥n de los n√ļmeros primos, aquellos indivisibles por cualquier otro n√ļmero que no sea 1 ni ellos mismos.

El matem√°tico alem√°n Bernd Riemann sugiri√≥ que la distribuci√≥n de estos n√ļmeros est√° estrechamente relacionada con el comportamiento de la llamada "funci√≥n zeta de Riemann".

Esta funci√≥n tiene dos tipos de ceros: los ceros "triviales", que son todos los n√ļmeros enteros pares y negativos; y los ceros "no triviales", cuya parte real est√° siempre entre 0 y 1.

La hipótesis dice que todos los ceros no triviales tienen una parte real de 1/2.Esto ha sido verificado para las primeras 10.000.000.000.000 soluciones.

5. Yang-Mills y el salto de masa ("mass gap")

Distintos experimentos descubrieron la existencia de un mass gap (traducido en espa√Īol como "salto de masa" o "intervalo m√°sico") en la soluci√≥n a la teor√≠a de Yang-Mills, la cual estableci√≥ las bases de la teor√≠a de las part√≠culas elementales de la materia y en cuya versi√≥n cu√°ntica describen part√≠culas sin masa (gluones).

El uso exitoso de esta teor√≠a para describir las fuertes interacciones de las part√≠culas elementales depende de ese "salto de masa", una propiedad mec√°nica cu√°ntica seg√ļn la cual las part√≠culas cu√°nticas tienen masas positivas, aunque las ondas cl√°sicas viajan a la velocidad de la luz.

Aunque esta propiedad fue confirmada por simulaciones por computadora, a√ļn no se logr√≥ entender desde un punto de vista te√≥rico.

El problema consiste en determinar de manera rigurosa la existencia de una teoría de Yang-Mills cuántica que pueda explicar este fenómeno. Es decir, si -como muchos expertos creen- todas las partículas de esta teoría (los gluones) tienen masa o no.

6. Las ecuaciones de Navier-Stokes

Estas ecuaciones describen el movimiento de fluidos como líquidos y gases que gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes del océano o el flujo alrededor de vehículos o proyectiles.

Pese a que desde su formulación en el siglo XIX describen adecuadamente tanto el flujo turbulento (el que se da de manera caótica) como laminar (no turbulento), sigue sin existir una explicación rigurosa de cómo un fluido pasa de tener un flujo regular a uno turbulento.

Los cient√≠ficos tratan de conseguir una mejorada teor√≠a matem√°tica sobre la din√°mica de fluidos que ayude a entender el fen√≥meno de la turbulencia y desbloquear los muchos secretos ocultos que a√ļn permanecen en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Matem√°ticos y f√≠sicos creen que esto nos ayudar√≠a a mejorar nuestro conocimiento sobre la formaci√≥n de olas en el mar o turbulencias en el aire y, lo que es a√ļn m√°s importante, poder predecirlas mejor.

7. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que une geometr√≠a algebraica y teor√≠a de n√ļmeros, pide estudiar las soluciones racionales a ecuaciones que definen una curva el√≠ptica.

Las curvas algebraicas se clasifican seg√ļn su g√©nero, siendo las m√°s sencillas las de g√©nero cero o curvas racionales (que tienen ninguna o infinitas soluciones racionales).

El problema, sin embargo, est√° en demostrar un criterio que distinga qu√© curvas de g√©nero 1 (tambi√©n llamadas el√≠pticas) tienen un n√ļmero finito o infinito de soluciones racionales.

 

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